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拓扑学Ⅱ|笔记清算(4)——紧致性,列紧性

发布日期:2021-09-27 01:10    点击次数:149

内走益!

这一节吾们会关注紧致性,列紧性等看似差不多,实则通盘不相符的一些拓扑空间的新概念。和之前的不息性等一致,它们是为了弥补数分中完善的点列收敛性而在拓扑空间抽象化的新性质。

提供之前的笔记:

拓扑学Ⅱ|笔记清算(1)——拓扑基本概念及性质,不息拓扑学Ⅱ|笔记清算(2)——乘积空间,拓扑基,仳离公理拓扑学Ⅱ|笔记清算(3)——可数公理,Urysohn可度量化定理

吾们最先本节的内容。本节涵盖原书的内容为P51-57

现在录紧致性,列紧性度量空间上的紧性紧致空间及其性质豪斯道夫空间的紧致子集乘积空间的紧致性紧致性,列紧性

研讨这些题现在之前,必然要先给出相关的定义。

Definition 1:伪如一个拓扑空间每一个序列都有收敛的子序列,则称它是列紧的。伪如每一个拓扑空间的开遮盖都有有限的子遮盖,则称它是紧致的。

雷同不沾边?但是究竟上许多时候这两个性质等价,吾们缓缓来看。

最先给出一个列紧的小的性质

Proposition 1:定义在列紧拓扑空间 X 上的不息函数 f: X \to \mathbb{E}^1 有界,且能够达到最大最小值。

吾们外明一下这个结论。伪如 \alpha=\inf_x f(x) \ge -\infty (仔细, \ge -\infty 就是外明它能够取到无穷,也就是能够无界)。那么这样就存在一个点列 \{x_n\} \subset X 使得 f(x_n) \to \alpha (仔细,吾们只是遵命下确界的定义得到了一个函数值收敛的序列,但是点本身不肯定收敛)。这样遵命列紧性,存在一个子列 \{x_{n_k}\} \to a 且子列都在 X 内。这样的话就有 f(x_{n_k}) \to f(a) 。由于子列和原序列收敛到联相符点,所以 \alpha=f(a) ,也就是说实在存在一个点大概取到最小值。反过来,也能够外明存在一个点它能够取到最大值,自然就外清亮有界性。

度量空间上的紧性

对于度量空间,两个概念能够联相符,这一单方就是要外明这些不满现在点。

Proposition 2:紧致C1空间列紧。

现在吾们取定 \{x_n\} 为紧致C1空间 X 的一个序列,要外明列紧,自然要外明它有收敛的子序列。要仔细到的是C1空间有个很有趣的性质是存在一个可数的邻域基 \{V_n\} 它是逐渐萎缩的,所以遵命萎缩来选取无穷点列,自然是容易外明结论的。所以吾们决定先外明 X 中的存在一个点 x ,其任意邻域都含有 \{x_n\} 的无穷多项。

伪如对于任意一个点 x 都存在一个开邻域 U_x 只包含 \{x_n\} 的有限项,那么仔细到 \{U_x \mid x \in X\} 是开遮盖,但是不走能被它的任意有限子遮盖给盖住(由于有限子遮盖通盘只有有限个点),就与紧致性矛盾了。

末了再说一下构造,由于 V_m \subset V_n, m \ge n ,那么吾取 x_{n_i} 为这个序列中包含在 V_i 中项的第i个(这是为了避嫌,保证即使在大的邻域内取到了一个较小的邻域的点,照样也不会影响这个序列的无重复性)。这样就构造了一个这样的子序列。它自然是知足结论的。

由于度量空间肯定是C1空间,所以吾们能够外明度量空间两个概念等价性的一个倾向。而另一个倾向则可贵许多。

Definition 2:对于度量空间 (X,d) 的子集 A ,伪如对于任意的 x \in X ,有 d(x,A)<\delta ,也即 \bigcup_{a \in A}B(a,\delta) =X ,那么称 AX 的一个 \delta-网

下面这个图直不满主意表现了一个 \delta-网 的形式

Proposition 3:对于任意的 \delta>0 ,列紧度量空间存在有限的 \delta-网

(这一句话有趣是,存在一个 \delta-网 是一个有限集)

伪如结论不走立,那么就会存在一个 \delta_0 >0 ,对于 X 的任一有限子集 A ,可找到点 x \in X ,使得 d(x ,A) \ge \delta_0 。要清亮它是一个列紧的空间,所以现在吾们只需要构造一个序列它没有收敛的子序列,就会产生矛盾。

最先吾们取定 x_1 ,之后吾们取 x_2 使得 d(x_2,x_1) \ge \delta_0 ,再然后把 \{x_1,x_2\} 看作一个有限子集,那么存在一个点 x_3 使得 d(x_3,x_1) \ge \delta_0,d(x_3,x_2) \ge \delta_0 。不息构造下去,这个子集不息都是有限的,但是遵命归纳原理,这样构造出的序列它实在是不收敛的(由于各个点之间的差距始终 \ge \delta_0 ),这就矛盾了。

究竟上,知足这个条件的集相符肯定是无界的,所以吾们反过来能够推出,列紧度量空间肯定有界。

还需要铺垫的一个概念是Lebesgue数的相关概念,在这之前吾们需要先引入一个函数。

\mathcal{U} 是列紧度量空间 (X,d) 的一个开遮盖,并且 X \not \in \mathcal{U} ,那么定义 X 上函数为\varphi_{\mathcal{U}}(x)=\sup\{d(x,U^c) \mid U \in \mathcal{U}\},x \in X

请仔细,这儿的 U^c 是相对 X 说的。

最先由于 X 是列紧的,所以它有界,所以 d(x,y) \le M,\forall x,y \in X 。这样的话,只要 X \ne U ,就有 d(x,U^c) \le M 。那么又由于 \mathcal{U} 是开遮盖,所以 U \in \mathcal{U} ,使得 x \in U (这是遮盖的本源定义),所以 \varphi_\mathcal{U}(x) \ge d(x,U^c) >0

这个函数还有个性质是不息性。成立的由于是,对于任意的 x, y \in Xd(y,U^c)=\inf\{d(y,a) \mid a \in U^c\} \le \inf \{d(x,y) + d(x,a) \mid a \in U^c\} =d(x,y)+d(x,U^c) ,那么就有 \varphi_\mathcal{U}(y) \le d(x,y) + \varphi_\mathcal{U}(x)

另一方面又很容易得到 \varphi_\mathcal{U}(x) \le d(x,y) + \varphi_\mathcal{U}(y) 。所以综相符一下就能够得到 |\varphi_\mathcal{U}(x)-\varphi_\mathcal{U}(y)| \le d(x,y) 。这就已经外清亮这个函数的不息性。

Definition 3:设 \mathcal{U} 是列紧度量空间 (X,d) 的一个开遮盖,并且 X \not \in \mathcal{U} 。那么称 \varphi_\mathcal{U} 的最小值为其Lebesgue数,记为 L(\mathcal{U})

它具有的性质是

Proposition 4: L(\mathcal{U}) 是正数,并且 0 < \delta <<span class=L(\mathcal{U})" eeimg="1"> 的时候,对于任意的 x \in XB(x,\delta) 必定包含在 \mathcal{U} 的某一个开集 U 中。

浅易外明一下。最先由于 X 是列紧的,那么结相符这个函数是一个不息函数,以及之前的第一个性质(Proposition 1)可知, \varphi_\mathcal{U} 就在某点 x_0 处达到最小值。那么记为 L(\mathcal{U}) =\varphi_\mathcal{U}(x_0)>0

仔细到对于任意的 x \in X,\delta < L(\mathcal{U}) \le \varphi_\mathcal{U}(x) 。所以自然就存在 U \in \mathcal{U} 使得 d(x,U^c)>\delta ,这样的话自然有 B(x,\delta) \subset U

伪如一个点到开集补集的距离大于一个值\delta,那么遵命图示容易看到这个开球肯定是在这个集相符内的。

现在就能够外明吾们要的效率了。

Proposition 5:列紧度量空间紧致。

吾们外明一下这个结论。最先设这个空间为 (X,d) 。现在吾们要考虑它的开遮盖 \mathcal{U} ,它是否存在有限子遮盖。

最先开遮盖包含 X 本身的情况是平淡的。所以设开集族不包含 X 。这样它就有Lebesuge数 L(\mathcal{U}) 。那么这样能够取 \delta< L(\mathcal{U}) 。考虑 A=\{a_1,a_2,...,a_n\}X 的一个 \delta-网 (遵命第三个性质,这个是存在的)。那么 \bigcup_{i=1}^{n}B(a_i,\delta)=X 。并且遵命第四个性质,可知对于任意的 i ,都会存在一个 U_i \in \mathcal{U} ,使得 B(a_i,\delta) \subset U_i 。这样的话 \{U_1,U_2,...,U_n\} 为其有限子遮盖,即外清亮结论。

那么吾们通过引入 \delta-网,\varphi_\mathcal{U} 等工具解决了另外一个倾向,而其中 \delta-网 的集相符有限性也是始到了很关键的作用。

吾们算是到此外清亮度量空间中紧致性和列紧性的等价性。平淡来说,吾们只需要清亮这个结论即可,至于外明的思想和过程,伪如时间不敷,能够粗略阅读即可。

紧致空间及其性质

由于之后的相关题现在需要涉及到一些新的概念,所以吾们先把定义引入再说之后的内容。

Definition 4:一个拓扑空间 X 的子集 A 若走为子空间是紧致的,就称它为 X 的紧致子集。伪如 X 的一个子集族 \mathcal{U} 知足 A \subset \bigcup_{U \in \mathcal{U}}U ,则称 \mathcal{U}AX 中的一个开遮盖。

对于其中的第二个定义,仔细它不是平淡的开遮盖,这儿乞求每一个遮盖的元素都是 X 中的开集。仅仅是 X 的一个子集已经不敷了。

关于紧致空间的这几个性质都是比较主要的,也为之后引入仳离公理作用铺垫相关的基础。

Proposition 6: AX 的紧致子集 \Leftrightarrow AX 中的任一开遮盖有有限子遮盖。

浅易外明一下。一方面,伪如 AX 的紧致子集,那么外明它走为 X 内的一个子空间是紧致的。那么自然就外明它存在有限子遮盖,那么能够设它的一个开遮盖是 \mathcal{U}_A=\{U \cap A \mid U \in \mathcal{U}\} 。取它的一个子遮盖 \{U_1 \cap A, U_2\cap A , \cdots, U_n \cap A\} 。这就外清亮 \{U_1,U_2,\cdots,U_n\} 是它的一个有限子遮盖。这已经外清亮结论。

另一方面,伪如任一开遮盖都有有限子遮盖,那么设 A 走为子空间拓扑上的一个开遮盖为 \mathcal{V}=\{V=U \cap A \mid U \in \mathcal{U}\} ,那么它对应的开遮盖为 \{U \mid U \in \mathcal{U}\} ,这样的话遵命条件,就有 \{U_1,U_2,\cdots,U_n\} 为它的有限子遮盖,这样的话 \{U_1 \cap V,U_2 \cap V,\cdots,U_n \cap V\} 就是 A 的走为子空间拓扑的一个有限子遮盖。这就外清亮结论。

Proposition 7:紧致空间的闭子集紧致。

设这个紧致的空间为 X ,并设闭子集为 A 。究竟上,遵命上面的结论,只要证它在 X 中的任一开遮盖都有有限的子遮盖。那么最先取 A 的一个开遮盖 \mathcal{U}=\{U \mid U \in \mathcal{U}\} 。这样的话, A^c 由所以开集,那么并到那个开遮盖 \mathcal{U} 内,就会得到一个 X 的开遮盖,那么它自然会有子遮盖 \{U_1,\cdots,U_n,A^c\} (究竟上能够有也能够没有 A^c )。那么这样的话,无论如何都有 \{U_1,\cdots,U_n\}A 的一个子遮盖,就外清亮结论。

Proposition 8:紧致空间在不息映射下的像紧致。

X 是紧致的,并且设映射 f: X \to Y 不息,那么下面自然要外明 f(X)Y 的紧致子集。设 \mathcal{U}f(X)Y 中的子遮盖,那么这样的话 \{f^{-1}(U) \mid U \in \mathcal{U}\} 也是 X 的一个开遮盖(由于 f 不息),它有子遮盖 \{f^{-1}(U_1),f^{-1}(U_2),\cdots,f^{-1}(U_n)\} 。那么 f(X)=\bigcup_{i=1}^{n}f(f^{-1}(U_i)) \subset \bigcup_{i=1}^{n}U_i 。那么自然能够得到 f(X) 的一个子遮盖 \{U_1,U_2,\cdots,U_n\} ,这就外清亮结论。

这个定理的关键是 f(f^{-1}(U)) \subset U ,详细能够看看下面这个

这能够在《拓扑学》的第一节中找到。

豪斯道夫空间的紧致子集

这一单方的性质也是很有趣的,不过它相对比较益理解,外明思想也有套路可循。所以这儿只给出最主要的单方,之后的推论不会列出详细外明。

Proposition 9:若 A 是豪斯道夫空间 X 的紧致子集, x \not \in A ,则 xA 有不相交的邻域。

(豪斯道夫空间就是T2空间)

吾们外明一下这个结论。最先对于任意的 y \in A ,由于 x \ne y ,所以 x,y 有不相交的开邻域 U_y,V_y 。这样的话 \{V_y \mid y \in A\} 就是一个 A 的开遮盖,对应的就会有一系列的 \{U_y\} 。遵命它是紧致子集能够得到它存在一个子遮盖 \{V_{y_1},V_{y_2},\cdots,V_{y_n}\} 。那么吾们记 U=\bigcap_{i=1}^{n}U_{y_i},V=\bigcup_{i=1}^{n}V_{y_i} 。它们是有限并和有限交,自然照样是开集,并且 U \cap V_{y_i} \subset U_{y_i} \cap V_{y_i}=\emptyset 。那么自然有 U \cap V=\emptyset ,就外清亮结论。

下面这个反例表现了为什么 U 不敷令为子集相符的并。

以矩形走为一个乘积空间,那么对于图中给定的V_i \times U_i,伪如U取并,那么末了得到的总的乘积空间就会超过区域的周围(蓝色虚横线和黑色实竖线划定的周围),也就是说会与外不满主意邻域相交,就不相符T2公理的乞求了。

由于这个性质的成立,所以吾们有

Corollary 1:豪斯道夫空间的紧致子集是闭集。

下面这个性质是上面一串性质的综相符。

Proposition 10:设 f: X \to Y 为不息的一一对应,其中 X 紧致, Y 是豪斯道夫空间,那么 f 是同胚。

浅易外明一下,由于不息的条件吾们已经有了,所以现在只需要考虑反过来的那个倾向。那么遵命吾们在第一节说的不息等价条件,只需要外明,对于任意的 X 内的闭集, f^{-1}:Y \to Xf(f^{-1}(X))=f(X) 也是一个闭集即可。

那么设 AX 的闭集,那么遵命Proposition 7就能够得到 A 也是紧致集,那么 f(A) 自然也是紧致集(这是遵命不息的条件和Proposition 8得到)。这样的话再遵命Corollary 1即可得到这是一个闭集,这就外清亮结论。

之后两个性质的外明手法是一致的,所以吾们略去了详细的过程外明。

Proposition 11:豪斯道夫空间的不相交紧致子集有不相交的邻域。Proposition 12:紧致豪斯道夫空间知足T3,T4公理。乘积空间的紧致性

这个单方只有一个主要的定理,吾们会以这个定理来完结这一节。

Lemma 1:设 AX 的紧致子集, yY 内一点,设在乘积空间 X \times Y 中, WA \times \{y\} 的邻域,那么存在 Ay 的开邻域 U,V 使得 U \times V \subset W

吾们外明一下这个结论。最先对于任意的 x \in A ,吾们有 (x,y)W 的内点,那么能够作它的开邻域 U_x,V_x 使得 U_x \times V_x \subset W ,那么这样的话 \{U_x \mid x \in A\} 是一个 AX 中的开遮盖,遵命吾们的Proposition 6就会有它存在一个有限子遮盖,那么能够设为 \{U_{x_1},\cdots,U_{x_n}\} ,这样对应就有 \{V_{x_1},\cdots,V_{x_n}\} 。设 U=\bigcup_{i=1}^{n}U_{x_i},V=\bigcap_{i=1}^{n}V_{x_i} ,这就是知足条件的开集。

是不是感觉构造是似曾相识的?把这个定理与豪斯道夫空间的情况对比一下,有助于理解。

末了就是主要的定理。

Proposition 13: X,Y 都紧致,那么 X \times Y 紧致。

既然要说它是紧致的,就要说对于它的任意一个开遮盖都有有限子遮盖。最先要仔细到的是 X \times \{y\} \simeq X (你没忘这什么有趣吧?同胚),所以是一个紧致集。又由于对于 X \times Y 的任意一个开遮盖 \mathcal{U} 也是 X \times \{y\} 的开遮盖,所以存在 X 上的有限子遮盖,其并集 W_yX \times \{y\} 的邻域。这样的话,遵命引理就会存在一个 y 的开邻域使得 X \times V_y \subset W_y ,这样的话这个有限子遮盖其实也是 X \times V_y 的有限子遮盖。进而遵命 Y 紧致,能够取到一系列的集相符 \{V_{y_1},\cdots,V_{y_n}\} 是它的有限子遮盖,又 X \times Y = X \times \bigcup_{i=1}^{n}V_{y_i} ,所以自然能够得到一个 X \times Y 的有限子遮盖(有限个有限子遮盖的并)。

小结

本节主要是引入了紧致性和列紧性,同时针对这两个性质的正当情况进走了分类的商议分析(比如紧致性无法遗传,但是具有可乘性)。仔细它们照样是拓扑最基础的单方,所以外明思想照样是需要体悟,或者说是需要记住的,这样之后的深入商议才会顺遂。

最近师长最先引入一些习题了,所以吾们能够会在期中考试之前出一节习题的专题笔记,内走能够期待一波~

感谢内走不息以来的援助,为点赞收藏感谢赞许的看客比心~~

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